「Luogu P5245」【模板】多项式快速幂

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给定$n-1$次多项式$F(x)$与整数$k$，求$\bmod x^n$意义下的$(F(x))^k$。

$\texttt{Data Range:}n\leq 10^5,2\leq k\leq 10^{10^5}$

前置知识

多项式基本操作，不会请右转模板区qwq。

题解

首先大力推一波式子

取下对数

再取一下指数

很明显，时间复杂度是$O(n\log n)$，但是如果像我一样写代码会$\texttt{TLE 8-20}$，于是来践行OI界的优良传统卡常数。

前方大图警告





中间有$\texttt{selftest}$的是我的自测，数据比这一题强。

首先看一份比较$\texttt{naive}$的代码（只有$\texttt{35 pts}$，吸氧后在$\texttt{selftest}$上跑还只有$\texttt{45070ms}$）：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=3e5+51,MOD=998244353,G=3,INVG=332748118;
ll fd,exponent;
ll f[MAXN],res[MAXN],tmp[MAXN],pinv[MAXN],der[MAXN],texp[MAXN],texp2[MAXN];
ll g[MAXN],rev[MAXN],root[MAXN],invl[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
inline ll readm(ll mod)
{
    register li num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(((num<<3)+(num<<1))%MOD+(ch-'0'))%MOD;
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}                                   
inline ll qadd(ll x,ll y,ll mod)
{
    return x+y>mod?x+y-mod:x+y;
}
inline ll qmin(ll x,ll y,ll mod)
{
    return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
inline ll qpow(ll base,ll exponent,ll mod)
{
    li res=1;
    while(exponent)
    {
        if(exponent&1)
        {
            res=(li)res*base%mod;
        }
        base=(li)base*base%mod,exponent>>=1;
    }
    return res;
}
inline void NTT(ll *cp,ll cnt,ll inv,ll mod)
{
    ll cur=0,res=0,omg=0;
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        if(i<rev[i])
        {
            swap(cp[i],cp[rev[i]]);
        }
    }
    for(register int i=2;i<=cnt;i<<=1)
    {
        cur=i>>1,res=qpow(inv==1?G:INVG,(mod-1)/i,mod);
        for(register ll *p=cp;p!=cp+cnt;p+=i)
        {
            omg=1;
            for(register int j=0;j<cur;++j)
            {
                ll t=(li)omg*p[j+cur]%mod;
                p[j+cur]=qmin(p[j],t,mod),p[j]=qadd(p[j],t,mod);
                omg=(li)omg*res%mod;
            }
        }
    }
    if(inv==-1)
    {
        ll invl=qpow(cnt,mod-2,mod);
        for(register int i=0;i<=cnt;++i)
        {
            cp[i]=(li)cp[i]*invl%mod;
        }
    }
}
inline void deriv(ll fd,ll *f,ll *res,ll mod)
{
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        res[i-1]=(li)f[i]*i%mod;
    }
    res[fd-1]=0;
}
inline void integ(ll fd,ll *f,ll *res,ll mod)
{
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        res[i]=(li)f[i-1]*qpow(i,mod-2,mod)%mod;
    }
    res[0]=0;
}
inline void inv(ll fd,ll *f,ll *res,ll mod)
{
    if(fd==1)
    {
        res[0]=qpow(f[0],mod-2,mod);
        return;
    }
    inv((fd+1)>>1,f,res,mod);
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        tmp[i]=i<fd?f[i]:0;
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    NTT(tmp,cnt,1,mod),NTT(res,cnt,1,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=(li)qmin(2,(li)tmp[i]*res[i]%mod,mod)*res[i]%mod;
    }
    NTT(res,cnt,-1,mod);
    for(register int i=fd;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=0;
    }
}
inline void ln(ll fd,ll *f,ll *res,ll mod)
{
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    inv(fd,f,pinv,mod),deriv(fd,f,der,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    NTT(pinv,cnt,1,mod),NTT(der,cnt,1,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        der[i]=(li)der[i]*pinv[i]%mod;
    }
    NTT(der,cnt,-1,mod),integ(fd,der,res,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        der[i]=pinv[i]=0;
    }
}
inline void exp(ll fd,ll *f,ll *res,ll mod)
{
    if(fd==1)
    {
        res[0]=1;
        return;
    }
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    exp((fd+1)>>1,f,res,mod),ln(fd,res,texp,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
 		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    texp[0]=qmin(f[0]+1,texp[0],mod);
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        texp[i]=qmin(f[i],texp[i],mod);
    }
    NTT(texp,cnt,1,mod),NTT(res,cnt,1,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=(li)res[i]*texp[i]%mod;
    }
    NTT(res,cnt,-1,mod);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        texp[i]=0,res[i]=i<fd?res[i]:0;
    }
}
int main()
{
    fd=read(),exponent=readm(MOD);
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        f[i]=read();
    }
    ln(fd,f,g,MOD);
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        g[i]=(li)g[i]*exponent%MOD;
    }
    exp(fd,g,res,MOD);
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        printf("%d ",res[i]);
    }
}

首先考虑把一些调用次数多而短的函数给搞掉。

一眼看过去，调用次数最多的是$\texttt{qadd}$和$\texttt{qmin}$，于是考虑吧这两个函数搞掉，把一些副本放到函数里面开$\texttt{static}$，于是就优化到了$\texttt{31078ms}$。

接下来，就可以考虑压缩$\texttt{deriv}$和$\texttt{integ}$了，尽管代码里只有调用一次，但是$\texttt{exp}$中会调用$\log n$次，所以果断搞掉，现在时间是$\texttt{28972ms}$。

接着考虑删掉一些不必要的参数，因为传$\texttt{int}$是$O(32)$的。于是可以考虑删掉$\texttt{mod}$，因为这题只有一个模数，用不着加这样一个参。

经过毒瘤卡常后，一个$\texttt{45000+ms}$的代码被优化成了$\texttt{12000-ms}$，可以见得卡常是个好东西。

附赠$\texttt{selftest}$

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=3e5+51,MOD=998244353,G=3,INVG=332748118;
ll fd,exponent;
ll f[MAXN],res[MAXN],g[MAXN],rev[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
inline ll readm()
{
    register li num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=((num<<3)+(num<<1)+(ch-'0'))%MOD;
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}                                   
inline ll qpow(ll base,ll exponent)
{
    li res=1;
    while(exponent)
    {
        if(exponent&1)
        {
            res=(li)res*base%MOD;
        }
        base=(li)base*base%MOD,exponent>>=1;
    }
    return res;
}
inline void NTT(ll *cp,ll cnt,ll inv)
{
    ll cur=0,res=0,omg=0;
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        if(i<rev[i])
        {
            swap(cp[i],cp[rev[i]]);
        }
    }
    for(register int i=2;i<=cnt;i<<=1)
    {
        cur=i>>1,res=qpow(inv==1?G:INVG,(MOD-1)/i);
        for(register ll *p=cp;p!=cp+cnt;p+=i)
        {
            omg=1;
            for(register int j=0;j<cur;++j)
            {
                ll t=(li)omg*p[j+cur]%MOD,t2=p[j];
                p[j+cur]=(t2-t+MOD)%MOD,p[j]=(t2+t)%MOD;
                omg=(li)omg*res%MOD;
            }
        }
    }
    if(inv==-1)
    {
        ll invl=qpow(cnt,MOD-2);
        for(register int i=0;i<=cnt;++i)
        {
            cp[i]=(li)cp[i]*invl%MOD;
        }
    }
}
inline void inv(ll fd,ll *f,ll *res)
{
    static ll tmp[MAXN];
    if(fd==1)
    {
        res[0]=qpow(f[0],MOD-2);
        return;
    }
    inv((fd+1)>>1,f,res);
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        tmp[i]=i<fd?f[i]:0;
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    NTT(tmp,cnt,1),NTT(res,cnt,1);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=(li)(2-(li)tmp[i]*res[i]%MOD+MOD)%MOD*res[i]%MOD;
    }
    NTT(res,cnt,-1);
    for(register int i=fd;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=0;
    }
}
inline void ln(ll fd,ll *f,ll *res)
{
    static ll pinv[MAXN],der[MAXN];
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    inv(fd,f,pinv);
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        der[i-1]=(li)f[i]*i%MOD;
    }
    der[fd-1]=0;
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    NTT(pinv,cnt,1),NTT(der,cnt,1);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        der[i]=(li)der[i]*pinv[i]%MOD;
    }
    NTT(der,cnt,-1);
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        res[i]=(li)der[i-1]*qpow(i,MOD-2)%MOD;
    }
    res[0]=0;
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        der[i]=pinv[i]=0;
    }
}
inline void exp(ll fd,ll *f,ll *res)
{
    static ll texp[MAXN];
    if(fd==1)
    {
        res[0]=1;
        return;
    }
    ll cnt=1,limit=-1;
    while(cnt<(fd<<1))
    {
        cnt<<=1,limit++;
    }
    exp((fd+1)>>1,f,res),ln(fd,res,texp);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
 		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<limit);
    }
    texp[0]=(f[0]+1-texp[0]+MOD)%MOD;
    for(register int i=1;i<fd;++i)
    {
        texp[i]=(f[i]-texp[i]+MOD)%MOD;
    }
    NTT(texp,cnt,1),NTT(res,cnt,1);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        res[i]=(li)res[i]*texp[i]%MOD;
    }
    NTT(res,cnt,-1);
    for(register int i=0;i<cnt;++i)
    {
        texp[i]=0,res[i]=i<fd?res[i]:0;
    }
}
int main()
{
    fd=read(),exponent=readm();
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        f[i]=read();
    }
    ln(fd,f,g);
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        g[i]=(li)g[i]*exponent%MOD;
    }
    exp(fd,g,res);
    for(register int i=0;i<fd;++i)
    {
        printf("%d ",res[i]);
    }
}