「Luogu P4213」【模板】杜教筛(Sum)

一共有$T$组数据,对于每组数据,求$\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(i)$和$\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(i)$

$\texttt{Data Range:}T\leq 10,n\leq 2^{31}-1$

链接

前置知识

积性函数

对于一个数论函数$f$,如果对于任意的互质整数$i,j$,使得$f(ij)=f(i)f(j)$,那么说$f$是一个积性函数

如果对于任意的整数$i,j$,使得$f(ij)=f(i)f(j)$,那么说$f$是一个完全积性函数

  • 常见的积性函数:$\varphi,\mu,\sigma,d$

  • 常见的完全积性函数:$\epsilon,id,I$

这里解释一下完全积性函数下的三个函数。

$\epsilon(n)=[n=1],I(n)=1,id(n)=n$

狄利克雷卷积

对于两个数论函数$f,g$,它们的狄利克雷卷积是$\sum\limits_{d\vert n}f(d)g(\frac{n}{d})$,记作$(f\ast g)(n)$