学习笔记·微分方程

其实是一个备忘录啦qwq

前言

所谓微分方程，其实就是包含导数的方程。

可分离变量的一阶微分方程

如果能够把一阶微分方程中所有关于$y$和$\mathrm{d}y$的放在一边，把所有$x$和$\mathrm{d}x$放在另一边，则说明该微分方程是可分离变量的。例如

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=ky$$

可重新整理为

$$\frac{1}{ky}\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$$

故它是可分离变量的。另一个例子，方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos^2y\cos x$$

可化为

$$\sec^2 y\mathrm{d}y=\cos x\mathrm{d}x$$

现在，继续计算的方法是两面即积分号并积分，整理一下之后求$y$。在第一个例子中，我们得到

$$\int\frac{1}{ky}\mathrm{d}y=\int\mathrm{d}x$$

即

$$\frac{1}{k}\ln \vert y\vert=x+C$$